Números primos

José María Barja Pérez

El inicio de un año suele traer reflexiones sobre el número que tiene asignado, incluidas sesudas consideraciones sobre sus propiedades. En este caso se resalta su carácter de número primo, el que no es divisible más que por 1 y si mismo. Pero esa propiedad aritmética nos suena a escuela elemental, a ejercitar operaciones de cálculo que nos familiaricen con los números naturales. Y sin embargo somos escasamente conscientes del importante papel que en el actual mundo tecnológico desempeñan esa clase de números. Precisamente hace un año fue noticia que se había probado que un número,  2^74.207.281 – 1, de 22.338.618 de cifras era primo, el más grande conocido, el 49º primo de Mersenne. Pero ello sonó a hazaña computacional con poca utilidad práctica, aunque algo se decía sobre mejoras en claves criptográficas. Y sin embargo en nuestra vida corriente algunos primos pequeños, como el 23 o el 97, son empleados para asignarnos el NIF y para identificar en todo el mundo las transacciones desde cuentas bancarias. El enorme desconocimiento de los bancarios sobre el IBAN revela las carencias de formación que deben superar las nuevas generaciones. No se trata de enseñar extrañas teorías, sino de como hacer operaciones módulo un primo, es decir, empleando los restos de la división por tal particular número. Y aprender que ello sirve para detectar errores comunes que cometemos los humanos al comunicar códigos alfa­numéricos en nuestras gestiones cotidianas. Eso que experimentan las cajeras, que cuando tecleando un código de barras que no ha podido leer el escaner, son avisadas con un pitido de que algo han transcrito mal. Los presuntos expertos en manejar los códigos de cuentas bancarias se resisten a emplear el único estandard legal desde el 1/febrero/2016, tras dos años de retraso, pese a que ya 70 países lo emplean. No deja de ser instructivo el que un concepto que los humanos han manejado desde hace casi 30 siglos, hoy sea una herramienta común.

Datos:

• Algunos colegas, especialistas en teoría de números, se encargaron de recordar propiedades del número 2017, con referencias a webs especializadas y a sistemas de computación simbólica. Entre otras refieren que el desarrollo en base 2 de 2017 es 11111100001; que hay 2017 formas distintas de escribir 30 como suma de unos, doses, treses, cuatros y cincos; que se puede escribir como suma de tres cubos, 2017 = 7³ + 7³ + 11³ , …
• Una opinión sobre el mejor número primo aparece en el episodio 10º de la 4ª temporada, The Alien Parasite Hypothesis, de la serie The Big Bang Theory. Según Sheldon Cooper es el «73, el primo número 21, leído al revés es 37, el primo número 12 que al revés es 21, el producto de 7 por 3. […] En binario, 73 es un palíndromo 1001001».
• El número primo 23 es una buena elección para crear un código detección de errores; se prueba fácilmente que el NIF detecta todos los cambios de una cifra del DNI y todas las trans­posiciones de dos cifras del DNI. Sin embargo el NIF no detecta muchos cambios de dos cifras, incluso consecutivas, del DNI; tampoco detecta muchos cambios de tres cifras, incluso si se trata de una permutación circular de tres consecutivas.
• Las cuentas bancarias se identificaban por el llamado Código Cuenta Cliente (C.C.C.), según unas normas de marzo/1993. Son 20 dígitos en cuatro campos que debían ser completados siempre con ceros a la izquierda: entidad (4 dígitos), sucursal (4 dígitos), D.C. (que significa dígitos de control, 2 dígitos) y número de cuenta (10 dígitos). El primero de los dígitos de control verifica los campos entidad – sucursal y el otro el número de cuenta; son códigos lineales con módulo el número primo 11. Si el dígito de control vale 10 se substituye por 1, lo cual disminuye la eficacia del código. Aunque parezca increíble, el mal diseño de ese sistema produce que la transposición del dígito de control de cuenta y la primera cifra del número de cuenta, no es detectada. Si se colocase el dígito de control al final o, definitivamente mejor, si se empleasen 9 dígitos para el número de la cuenta (un millardo debería ser suficiente para cualquier entidad), dichos errores de transposición pasarían a poder ser detectados.
• Desde febrero/2014, para identificar las cuentas bancarias rige el International Bank Account Number (IBAN), que se resume en completar el C.C.C. con las dos letras ES, que identifican al país, y dos dígitos de control. Estos son la diferencia entre 98 y el resto módulo el número pri­mo 97 del número de 26 cifras formado por el C.C.C. seguido de 14 (por E), 28 (por S) y dos ceros [se trata del algoritmo ISO 7064, MOD 97-10 de 2003].
• Los dígitos de control del IBAN protegen la cadena de caracteres contra los errores que ocurren cuando la gente copia los datos. Así detecta todos los errores de sustituir un solo carácter por otro, casi todos los errores de transposición de dos caracteres, una alta proporción de otros errores. En Portugal todos sus IBAN, que son de longitud 25, comienzan por PT50 porque su sistema de numeración de cuentas ya empleaba el método MOD-97-10.
• Como escribía el matemático Keith Devlin de la Universidad de Stanford en California, «la introducción de la calculadora electrónica en la década de 1960, hizo obsoleta la necesidad de los seres humanos de dominar el antiguo arte del cálculo aritmético mental. A lo largo de las décadas siguientes, el alcance de los algoritmos desarrollados para realizar procedimientos matemáticos se amplió constantemente, culminando en la creación de programas como Mathe­matica […] que puede ejecutar cualquier procedimiento matemático, resolviendo con precisión y en una fracción de segundo, cualquier problema matemático formulado con suficiente preci­sión.» Eso provoca que «el enfoque primario de las matemáticas cambió […] de ejecutar proce­dimientos para resolver problemas, a analizar y entender las propiedades y las relaciones entre los conceptos matemáticos abstractos.» La más básica de las nuevas habilidades matemá­ticas hoy requeridas es el “sentido del número”, la de «pensar y razonar con flexibilidad con números, utilizar números para resolver problemas, detectar respuestas irracionales, entender cómo los números pueden ser separados y reunidos de diferentes maneras, ver conexiones entre las operaciones y hacer estimaciones razonables.»
• Hoy empleamos contraseñas para bloquear cuentas informáticas, pero somos poco conscien­tes de que deben reunir una cierta complejidad o estaremos a merced de los hackers. También de Sheldon Cooper es la advertencia:«un niño de seis años podría hackear su sistema informá­tico. 1-2-3-4 no es una contraseña segura», The Peanut Reaction episodio 16º de la 1ª temporada.
• Si nos fijamos en algunos absurdos titulares de prensa, La revolución de las matemáticas llega al fútbol y Barómetros y logaritmos, está claro que los medios de comunicación necesitan entender que las matemáticas revolucionan también otros muchos temas y que los algoritmos no tienen por que usar logaritmos.