Matemáticas frente al anumerismo- José María Barja Pérez

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En medio de un anumerismo galopante, dos noticias positivas sobre matemáticas han saltado a las redes sociales. La consecución de la Medalla Fields por una mujer, Maryam Mirzakhani, y un brasileño, Artur Avila, apareció en muchos medios. Lo que se resalta en la información es el género o la nacionalidad, dado que es muy difícil transmitir los resultados específicos de sus trabajos, de alto nivel de abstracción. También, aunque con mucha menor relevancia, se reseñó la verificación de la conjetura sobre empaquetamiento óptimo de esferas de Kepler, quien en 1611 intuyó que la solución es la usada por los fruteros al apilar naranjas.

Pero ambas noticias aportan visibilidad a una ciencia que aunque necesita menos inversiones que otras más nombradas, si precisa apoyo para que los jóvenes investigadores puedan entrar en contacto con centros de excelencia y desarrollar su carrera. Y, contra la velada acusación de la “inutilidad” de abstractos resultados matemáticos, de ellos surgen aplicaciones como los códigos que corrigen errores o los sistemas de verificación de demostraciones, que en algún momento próximo serán empleados en el ámbito jurídico.

Datos:

  • Una noticia sobre un volcán que hace crecer una isla japonesa decía «su superficie alcanzaba los 56.000 kilómetros cuadrados y una altura de 25 metros cuadrados por encima del nivel del mar». Ni un tamaño superior al de toda la Comunidad de Aragón, ni una medida de superficie aplicada a una altura sorprendió al redactor. En otros medios se aclaraba que «la isla fusionada tiene un poco más de 1.000 metros de diámetro. Dos conos se han formado alrededor de los respiraderos y alcanzan más de 60 metros sobre el nivel del mar.» También sobre otro tema se podía leer «se olvida algo tan básico como que todo número dividido entre cero siempre da cero», bajo un titular «No tiene en cuenta que cero dividido por cualquier número siempre da cero», que sería correcto si el 0 no fuese un número. Seguramente aprendieron la división con esos juegos de cartas para niños que incluyen una que asevera «4/0  = 0».
  • John Allen Paulos doctor en matemáticas por la Universidad de Wisconsin y profesor en la Temple University de Filadelfia, publicó un libro, Innumeracy: Mathematical Illiteracy and Its Consequences, cuya traducción al español El hombre anumérico. El analfabetismo matemático y sus consecuencias [5ª edición (2000) Tusquets Editores] aportó el término anumerismo. Explica que «la línea divisoria entre la psicología y las matemáticas es nebulosa», y está por saber hasta qué punto nuestras reacciones ante muchas realidades vienen condicionadas por «el impacto psicológico que tienen los números», una limitación para entender el mundo de forma científica y racional. Un ejemplo de ello pudo verse en la sustitución del sistema monetario de la peseta por el del euro; aunque se trataba de dos unidades distintas, una especie de corriente psicológica fue creando equivalencias falsas entre ambas y productos que costaban cien pesetas pasaron a valer un euro, pese a que ello suponía un encarecimento superior al 60%. También en su libro aclara Paulos que las matemáticas son mucho más que hacer cuentas: «Mathematics is no more computation than literature is typing».
  • No hay premio Nobel de las matemáticas, lo que se ha explicado desde la fantasía (algo sobre el matemático Gustav Mittag-Leffler y la “esposa” del soltero Alfred Nobel) y desde la prosa (matemáticas no era uno de los intereses del Nobel). El presidente del Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) de 1924, el canadiense John Charles Fields (1863-1932) propuso la creación de un premio cuatrienal dotado (así lo dispuso en su testamento; la medalla está valorada en unos 5.000 dólares y el premio unos 14.000) para matemáticos menores de cuarenta años dedicados al avance de la matemática pura. La idea fue aprobada en el ICM de 1932 en Zurich, y las dos primeras medallas Fields fueron entregadas en 1936 en Oslo. Con las cuatro de este año van 56, pero Mirzakhani es la primera mujer en recibir una.
  • La entrega de las Medallas Fields se realiza en el Congreso Mundial de Matemáticos, que coincide con el año del Mundial de Futbol. Como dijo Oscar Weblen, presidente del ICM de 1950, «No son congresos de matemáticas, ese campo de conocimiento altamente organizado, sino de matemáticos, esos individuos más bien caóticos que crean y conservan las matemáticas.»
  • Maryam Mirzakhani de 37 años, profesora de la Universidad de Stanford, es licenciada por la Universidad Sharif de Tecnología de Teherán. Artur Avila de 35 años, es investigador del instituto francés CNRS, Centre National de la Recherche Scientifique y del brasileño IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, donde se doctoró; es licenciado por la Universidad Federal de Río de Janeiro y el primer ganador de la Medalla Fields que obtuvo su doctorado fuera de Estados Unidos o Europa. Junto con de ellos fueron premiados con la Medalla Fields otros dos matemáticos, Manjul Bhargava (de la norteamericana Universidad de Princeton) y Martin Hairer (de la inglesa University de Warwick).
  • Mucho más semejante al Nobel es el premio Abel propuesto en 1902 por el rey Oscar II de Suecia y Noruega en memoria de Niels H. Abel (1802 – 1829), quien demostró la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado. En 2002, la Universidad de Oslo y la Sociedad Matemática Europea, con el concurso de la Unión Matemática Internacional, logran que el gobierno de Noruega instaure el premio (6 millones de coronas noruegas, 750.000 euros). La Academia Noruega de Ciencias y Letras anuncia el laureado con el Abel cada año en marzo, siendo en mayo la entrega de premios por el Rey de Noruega en Oslo. El primer premiado fue Jean-Pierre Serre del College de France, que ya era medalla Fields (1954) y el más joven receptor (27 años), “por su papel central en la elaboración moderna de numerosas partes de las Matemáticas, en particular la Topología, la Geometría Algebraica y la teoría de Números.”
  • En el 2º ICM, celebrado en Paris en 1900, David Hilbert propuso su famosa lista de 23 problemas; en el problema 18 se plantean varias cuestiones sobre el empaquetamiento de esferas y la conjetura de Kepler. En 1953, László Fejes Tóth redujo por primera vez la conjetura de Kepler a un problema complejo de optimización: encontrar el mínimo de una cierta función de 200 variables, ideando él mismo un método computational, imposible de llevar a cabo en aquellos años. En 1998, siguiendo las ideas de Fejes Tóth, Thomas Hales ayudado por su alumno de doctorado, Samuel Ferguson, presentaron una prueba de la conjetura de Kepler en una serie de seis artículos. Esta demostración involucra tanto la matemática tradicional como la computacional (ocupa 250 páginas y tres gigabytes de datos y códigos). La primera parte de la demostración, tras cinco años de revisión, apareció publicada en 2005 en la prestigiosa revista Annals of Mathematics. Aunque la demostración se consideraba válida, avivó el debate de las demostraciones matemáticas vía ordenadores. Se prefieren demostraciones que, al menos teóricamente, cada lector interesado pueda comprobar hasta el más mínimo detalle.
  • La demostración de Hales es otro de los resultados matemáticos probados con ordenador; el más famoso tuvo lugar en 1976 cuando Ken Appel y Wolfgang Haken probaron el “teorema de los cuatro colores”, que asegura que cuatro es el número mínimo de colores necesarios para colorear un mapa plano de forma que dos países con frontera común lleven colores distintos. En 1996, N. Robertson, D.P. Sanders, P. Seymour y R. Thomas (del Georgia Institute of Technology), publican una nueva prueba, que reduce los casos a 633 y 32 reglas, con una prueba formal que puede verificarse por ordenador en sólo 3 horas. En 2004, Benjamin Werner (del INRIA) y Georges Gonthier (de Microsoft Research Cambridge) verifican esa prueba reformulando el problema para el asistente de pruebas Coq 3.1, confirmando la validez de cada una de las etapas de la prueba. Eliminan la necesidad de fiarse de varios programas de ordenador para verificar los casos particulares, pues basta con dar crédito al asistente Coq.
  • El propio Thomas Hales inició el proyecto FLYSPECK “Toward a Formal Proof of the Kepler Conjecture”, para la verificación formal de la prueba. Este agosto anunció que ha terminado con éxito, tras unas 5.000 horas de procesador realizadas en paralelo con 32 nucleos, lo cual representa unas 157 horas reales. La herramienta de verificación fue desarrollada por Alexey Solovyev en su tesis del año 2012, con una combinación de los asistentes de prueba formal Isabelle (que enumeró las estructuras combinatorias de posibles contraejemplos) y HOL Light (que produjo la prueba formal). Una prueba formal es una prueba matemática que ha sido chequeada por ordenador a partir de los axiomas fundamentales de matemáticas y con reglas de inferencia primitivas. Una prueba formal proporciona un grado mucho más alto de certificación que los estándares tradicionales y la revisión por pares; no sólo es un método para estar absolutamente seguro de que no hemos cometido un error en una prueba, sino también es una herramienta que nos muestra y obliga a entender por qué una prueba funciona.
  • Una aplicación de empaquetamientos de esferas en altas dimensiones es la generación de códigos de corrección de errores. El principio básico de un código que detecta errores es que la codificación, las secuencias de símbolos llamadas palabras código, difieran una de otra en al menos 2n símbolos. Así, si ocurren menos de n errores en la transmisión de una palabra código, existe al menos una palabra código a distancia menor que n de la palabra recibida y la corrección es posible. En los códigos de corrección de errores que usan empaquetamiento de esferas se tranforman las letras del código en tuplas de coordenadas de centros de esferas no superpuestas; si las esferas tienen radio n entonces es posible corregir menos de n
  • Una sentencia judicial debería ser una argumentación correcta que, partiendo de unos hechos y la legislación aplicable, determine una sentencia. Los sistemas de verificación de demostraciones podrían aplicarse para ayudar a los que tienen que emitirlas; también ayudarían a la eliminación de las contradicciones producidas en los procesos legislativos.

Acerca de Contraposición

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